ما الذي تحسبه هذه الأداة؟
تصف هذه الحاسبة العلاقة الخطية بين متغيرين عدديين. كل سطر يمثل ملاحظة واحدة: قيمة x ثم قيمة y المرتبطة بها، مثل ساعات التدريب والنتيجة المقاسة لنفس الشخص. تستخدم انحدار المربعات الصغرى بمتغير واحد ومقطع، وتعرض معامل ارتباط بيرسون r ومعامل التحديد R².
الصق عمودين من Excel دون عنوانيهما. ترتيب الزوج مهم: العمود الأول x والثاني y. يحتفظ الجدول بالترتيب الأصلي للصفوف، ويعرض القيمة المتوقعة والباقي لكل ملاحظة. لا تُملأ الخلايا الفارغة بصفر ولا تُحذف الصفوف الناقصة تلقائيًا.
كيفية استخدام حاسبة الارتباط والانحدار الخطي
أدخل القيم في الحقول المسمّاة أعلاه، وراجع الوحدات والخيارات. تظهر النتائج فورًا مع تفاصيل العملية وتتحدّث تلقائيًا عند تغيير أي قيمة، دون الحاجة إلى زر حساب. إذا كان حقل ناقصًا أو غير صالح تختفي النتيجة حتى تصحيحه. لا تُرسل المدخلات إلى الخادم. زر إعادة الضبط يعيد المثال الابتدائي.
المعادلة وطريقة الحساب
نحسب المتوسطين x̄ وȳ، ثم Sxx = Σ(xᵢ−x̄)² وSyy = Σ(yᵢ−ȳ)² وSxy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ).
الميل b = Sxy/Sxx، والمقطع a = ȳ−b×x̄. معادلة التقدير ŷ = a+b×x. معامل بيرسون r = Sxy/√(Sxx×Syy) عندما يكون التباينان غير صفريين.
الباقي eᵢ = yᵢ−ŷᵢ، ومجموع مربعات البواقي SSE = Σeᵢ². نحسب R² = 1−SSE/Syy؛ وهو يساوي r² في هذا الانحدار البسيط الذي يتضمن مقطعًا، ما دامت قيم y غير ثابتة.
مثال عملي
للأزواج (1،2)، (2،4)، (3،5)، (4،4)، (5،5): المتوسطان 3 و4، وSxx = 10 وSxy = 6 وSyy = 6. لذلك الميل 0.6 والمقطع 2.2، والمعادلة ŷ = 2.2 + 0.6×x.
معامل الارتباط نحو 0.774597، وR² = 0.6. عند x = 3 يكون التقدير 4. وعند x = 6 يعطي الخط 5.8، لكن هذه القيمة خارج المجال المرصود من 1 إلى 5، لذلك يظهر تنبيه الاستقراء الخارجي.
كيف تفهم النتيجة وحدودها؟
من زوجين إلى 200 زوج، وكل قيمة بين −مليار ومليار وحتى 6 منازل عشرية. لا تدعم هذه النسخة أوزان الملاحظات أو الانحدار المتعدد أو فواصل الثقة أو اختبار الدلالة. تقرّب الأرقام للعرض، ويحتفظ ملف CSV بدقة الحساب العددي.
إذا كانت قيم x متساوية فلا يوجد ميل محدد لهذا النموذج. إذا كانت y ثابتة مع اختلاف x، يوجد خط أفقي لكن r وR² غير معرّفين. الارتباط لا يثبت السببية، ولا يعني الارتباط الصفري انعدام كل علاقة؛ فقد تكون العلاقة منحنية.
افحص النقاط والقيم المتطرفة والبواقي قبل الاعتماد على الخط. ارتفاع R² لا يضمن صحة التنبؤ، ونقطتان مختلفتا x تعطيان تطابقًا تامًا دون معلومات كافية عن جودة النموذج. تجنب افتراض استمرار العلاقة خارج نطاق البيانات.
الأسئلة الشائعة
كيف ألصق البيانات من Excel؟
انسخ عمودين عدديين فقط دون عنوانيهما، ثم الصقهما في الخانة؛ الأول x والثاني y. كل صف ملاحظة واحدة. يجب إدخال قيمة في كل خلية، وتظهر النتيجة مباشرة.
ما الفرق بين r وR²؟
r يوضح اتجاه العلاقة الخطية ودرجتها بين −1 و1. R² يصف نسبة التباين حول متوسط y التي يفسرها النموذج داخل البيانات، وليس احتمال صحة التنبؤ. في هذا النموذج البسيط مع المقطع يكون R²=r² عند تعريفهما.
لماذا لا يظهر معامل ارتباط عندما تتساوى القيم؟
يتطلب بيرسون تباينًا غير صفري في كل متغير. ثبات x يمنع تحديد ميل الانحدار، بينما ثبات y يعطي خطًا أفقيًا لكن الارتباط ومعامل التحديد يبقيان غير معرّفين.
هل أستطيع تقدير قيمة خارج البيانات؟
يمكنك إدخال x في حقل التقدير الاختياري. خارج مجال البيانات يظهر تنبيه، لأن استمرار العلاقة الخطية في ذلك المجال غير مضمون. الرسم يبقى داخل المجال المرصود حتى لا تختفي تفاصيل النقاط.
المصادر والمراجع
يمكنك مراجعة المصادر الأصلية لمعرفة تفاصيل المعادلة والتصنيفات وحدود الاستخدام.
