حاسبة المصفوفات والمحدد والمعكوس

ما الذي تحسبه هذه الأداة؟

المصفوفة جدول أعداد له صفوف وأعمدة. تحسب هذه الأداة المحدد والمعكوس للمصفوفات المربعة ذات صفين وعمودين أو ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة، وتعرض مصفوفة المتممات والتحقق بالضرب. المحدد عدد واحد، أما المعكوس فهو مصفوفة بالأبعاد نفسها. قد تكون المصفوفة مربعة دون أن يكون لها معكوس.

اكتب الصفوف أو الصق خلايا من Excel. يحافظ التبويب على الأعمدة وفاصل السطر على الصفوف. تقبل الأداة الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور مثل 1/3، والأرقام العربية. إذا وجدت خلية ناقصة، أدخل قيمتها؛ لا تفترض الأداة أنها صفر.

كيفية استخدام حاسبة المصفوفات والمحدد والمعكوس

أدخل القيم في الحقول المسمّاة أعلاه، وراجع الوحدات والخيارات. تظهر النتائج فورًا مع تفاصيل العملية وتتحدّث تلقائيًا عند تغيير أي قيمة، دون الحاجة إلى زر حساب. إذا كان حقل ناقصًا أو غير صالح تختفي النتيجة حتى تصحيحه. لا تُرسل المدخلات إلى الخادم. زر إعادة الضبط يعيد المثال الابتدائي.

المعادلة وطريقة الحساب

لمصفوفة 2×2 صفها الأول (a، b) والثاني (c، d): المحدد = ad − bc. إذا لم يساوِ صفرًا، فالمعكوس له الصفان (d، −b) و(−c، a)، مقسومان على المحدد.

للمصفوفة 3×3 نحسب المتمم Cᵢⱼ بحذف الصف i والعمود j، ثم ضرب محدد المصفوفة المتبقية في (−1)^(i+j). نوسع المحدد على الصف الأول: det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃.

نبدّل صفوف مصفوفة المتممات وأعمدتها للحصول على المرافقة adj(A). المعكوس A⁻¹ = adj(A) / det(A) إذا كان المحدد غير صفر. نتحقق بضرب المصفوفة والمعكوس في الاتجاهين للحصول على مصفوفة الوحدة I.

مثال عملي

للمصفوفة ذات الصفين 4 7 ثم 2 6: المحدد = 4×6 − 7×2 = 10. المعكوس له الصف الأول 0.6 و−0.7، والصف الثاني −0.2 و0.4. ضرب المصفوفة بالمعكوس يعطي الصفين 1 0 ثم 0 1.

جرّب المثال 3×3 ذي الصفوف: 1 2 3 ثم 0 1 4 ثم 5 6 0؛ محدده 1. أما المصفوفة 1 2 ثم 2 4 فمحددها صفر، وبالتالي لا معكوس لها.

كيف تفهم النتيجة وحدودها؟

هذه النسخة لمصفوفات 2×2 و3×3 فقط، وليست لحل المتغيرات الرمزية أو الأعداد المركبة. كل عدد في الإدخال، بما فيه البسط والمقام، بين −مليون ومليون، وحتى 6 منازل عشرية؛ والقيمة الناتجة عن الكسر ضمن المجال نفسه. المقام لا يساوي صفرًا، والنص حتى 1000 حرف.

يُستخدم حساب كسري دقيق دون اختبار تقريبي للصفر. تُعرض النتيجة عشرية إذا انتهت خلال 12 منزلة، وإلا يبقى الكسر. الصق القيم العددية من جدولك وليس صيغة Excel مثل =SUM(...). لا نحسب الجمع أو الضرب بين مصفوفتين مستقلتين في هذه النسخة. المعكوس القريب من مصفوفة منفردة قد يتغير كثيرًا عند تغير القياسات الأصلية قليلًا.